El modelado del tráfico ha sido de interés para los matemáticos desde la década de 1950. La investigación en el área solo ha crecido a medida que el control del tráfico por carretera presenta un problema cada vez mayor.
En general, los modelos para el flujo de tráfico en las redes de carreteras dependen del tiempo y son continuos, es decir, describen el tráfico de forma continua en lugar de conductores individuales o automóviles. Estos modelos macroscópicos describen la evolución temporal y espacial de la densidad del tráfico sin predecir el tráficopatrones de individuos. Además de los modelos macroscópicos basados en densidades continuas, también se utilizan enfoques microscópicos como modelos de partículas o autómatas celulares para modelar el tráfico.
La mayoría de los modelos continuos existentes consideran el tráfico unidireccional; por lo tanto, la densidad del tráfico depende solo de una sola dimensión espacial. Las ecuaciones que gobiernan en esta clase de modelos macroscópicos están inspiradas en ecuaciones de dinámica de gases.
Gran parte del trabajo reciente se ha centrado en las intersecciones de tráfico, que constituyen un bloque de construcción de redes de carreteras más grandes. Aquí, los modelos generalmente apuntan a minimizar el tiempo de viaje de los conductores individuales o maximizar el flujo de tráfico total en una intersección dada.
En un artículo publicado en el Diario SIAM en Scientific Computing, los autores Simone Göttlich, Andreas Potschka y Ute Ziegler abordan el problema de calcular la configuración óptima del semáforo para las intersecciones de carreteras urbanas mediante la aplicación de leyes de conservación del flujo de tráfico en las redes.
"Las ecuaciones matemáticas que modelan el tráfico vehicular, similar al flujo de fluidos, pueden capturar fenómenos no lineales, como la formación de embotellamientos", explica la autora Simone Göttlich. "Los semáforos son una herramienta necesaria para redirigir el flujo de tráfico dentro de las redes de carreterasy, por lo tanto, ofrecen el potencial para mitigar la congestión incluso para grandes volúmenes de tráfico basados en conocimientos matemáticos "
Por lo general, los modelos de optimización del tráfico, que se basan en la transmisión celular, el fluido, las formulaciones de enteros mixtos y la heurística, intentan encontrar una duración óptima del ciclo de las fases verde y roja para los semáforos.
"La optimización matemática de los programas de semáforos es un problema extremadamente difícil, porque combina el mundo de la optimización combinatoria con modelos de flujo de tráfico continuo basados en ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas", dice el autor Andreas Potschka. "Nuestra investigación es un primer paso hacia la prácticaalgoritmos de optimización para esta nueva clase de problema "
El problema de optimización matemática puede describirse como un problema de control óptimo de entero mixto no lineal limitado por las leyes de conservación hiperbólicas escalares. Para resolver el problema, los autores utilizan un enfoque de convexificación externa parcial, que involucra dos etapas: la solución de un suavizado problema de programación no lineal con restricciones dinámicas y un programa lineal de reconstrucción de enteros mixtos sin restricciones dinámicas. El método calcula programas de semáforos para dos escenarios en diferentes discretizaciones.
"Después de la discretización, uno siempre termina con problemas de optimización a gran escala debido a la naturaleza temporal y espacialmente distribuida del problema. Para empeorar las cosas, los problemas son no lineales y tienen decisiones de enteros mixtos", explica Potschka. "La mayoríalos enfoques hasta ahora o bien eliminan la no linealidad a favor de una aproximación lineal por partes relativamente gruesa y aplican la herramienta técnicamente bien desarrollada de programación lineal de enteros mixtos, pero incluso esto no lo lleva muy lejos, como lo ilustramos en el documento ".
La ventaja de la convexificación externa parcial, que se utilizó por primera vez en el campo del control óptimo con ecuaciones diferenciales ordinarias, es que el problema se puede dividir en un problema de optimización dinámica no lineal sin restricciones de enteros y un programa lineal de enteros mixtos sin dinámica.Los autores muestran que los candidatos a soluciones de dos etapas se calculan más rápido y producen mejores resultados que los obtenidos por la optimización global de los modelos de flujo de tráfico linealizado por partes.
"Comenzando con el trabajo de Lighthill, Whitham y Richards en 1955-56 1, 2. Los modelos de tráfico hiperbólico se han estudiado desde diferentes perspectivas. El espectro abarca desde extensiones de modelos, investigaciones teóricas y numéricas, hasta cuestiones de control óptimoen los últimos años ", explica Göttlich." La investigación actual está cada vez más preocupada por la interfaz entre los problemas de red, la evaluación de datos estadísticos y las aplicaciones de ingeniería. La comprensión de las similitudes y diferencias de los diferentes enfoques a menudo presentan desafíos ".
Potschka explica que existen varias líneas para futuras investigaciones, tales como comprender cómo se puede formular la convexificación externa parcial en el espacio funcional antes de que ocurra cualquier discretización. Si bien se necesitan esquemas de alta resolución para la simulación eficiente de las leyes de conservación, estos enfoques generalmenteintroducir no diferenciaciones en las restricciones discretizadas, lo cual es un gran desafío para todos los métodos de optimización y debe abordarse.
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Materiales proporcionado por Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada . Nota: El contenido puede ser editado por estilo y longitud.
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